\chapter{Model}

Model je zjednodušená verze reality, která by měla zachycovat vztahy z reálného světa, které chceme studovat. Při tvorbě modelu musíme postupovat tak, aby byli zachovány vlastnosti, které chceme pomocí modelu studovat a ty které nechceme studovat tak zanedbáme. Pro popis fyzikálních systémů používáme matematické modely. U matematického modelu jsou vstupy a výstupy reprezentovány jako čísla. Model pomocí matematických funkcí přepočítá vstup na výstup.

\section{Nelineární model}

Nejobecnější model je nelineární časově proměnný model. Mějme vektor $x\in \mathbb{R}^{n_x},n_x\in \{0+\mathbb{N}\}$. Vektor $x$ obsahuje historii systému, jedná se o nejmenší vektor, který může obsahovat kompletní historii systému. Pokud je velikost $n_x$ rovna $0$, tak systém nemá žádnou dynamiku. Vstup je vektor $u$ velikosti $u\in \mathbb{R}^{n_u}, n_u\in\mathbb{N}$. Také mějme výstupní vektor $y$ velikosti $y\in\mathbb{R}^{n_y},n_y\in\mathbb{N}$. Poté můžeme nelineární model zapsat jako:
\begin{subequations}
\begin{align}
\dot{x}(t)&=f(x(t),u(t),t)\label{eq:nonlin_stav},\\
y(t)&=h(x(t),u(t),t).\label{eq:nonlin_vystup}
\end{align}
\end{subequations}
Proměnná $t$ vyjadřuje čas. Tento model je časově proměnný, tedy není časově invariantní, jeho výstup závisí na absolutní hodnotě času. Pokud je systém časově nezávislý, jeho rovnice se zjednoduší na:
\begin{subequations}
\begin{align}
\dot{x}(t)&=f(x(t),u(t)),\label{eq:nonlin_TI_stav}\\
y(t)&=h(x(t),u(t)).
\end{align}
\end{subequations}
U nelineárního systému také může vektor $x$ a $u$ náležet jen do určité podmnožiny $\mathbb{R}^{n_x}$ a $\mathbb{R}^{n_u}$.

\section{Lineární model}

Nelineární model není obecně jednoduše řešitelný, některé jsme schopni vyřešit analyticky ale často jsme ho schopni řešit jen numericky. Z těchto důvodů se provádí linearizace modelu, která nelineární model převede na lineární. Aby zobrazení $\mathcal{L}:A\rightarrow B$, kde $A$, $B$ jsou lineární prostory, bylo lineární, musí splňovat:
\begin{subequations}
\begin{align}
\alpha \mathcal{L}(x)=&\mathcal{L}(\alpha x),&\alpha\in\mathbb{R}, x\in A,\\
\mathcal{L}(x)+\mathcal{L}(y)=&\mathcal{L}(x+y),&x,y\in A.
\end{align}
\end{subequations}
Pokud je model lineární zobrazení, tak se jedná o lineární model. Díky tomu, že lineární zobrazení je zobrazení z lineárního prostoru do lineárního prostoru, tedy $x$ a $u$ už nemohou u lineárního modelu být jen z určité podmnožiny $\mathbb{R}^{n_x}$ a $\mathbb{R}^{n_u}$.

\subsection{Linearizace}

Lineární model z nelineárního modelu získáme pomocí procesu zvaného linearizace. Existují dva způsoby linearizace. Linearizace v ekvilibriu a linearizace podél trajektorie.

\subsubsection{Linearizace v ekvilibriu}

Pro linearizaci časově neproměnného systému v ekvilibriu platí:
\begin{subequations}
\begin{align}
0=&f(x_0,u_0),\\
y_0=&h(x_0,u_0).
\end{align}
\end{subequations}
Tedy ve stavu $x_0$ a vstupu $u_0$ je systém v klidu, jeho stav se nemění. Nalezení kombinace $x_0$ a $u_0$ nemusí být vždy jednoduché a ani nemusí existovat. Platnost linearizace v ekvilibriu platí také jen v nějakém okolí daného ekvilibria. Pokud tedy nelineární systém pracuje ve velkém rozsahu stavů a vstupů, nemusí být linearizace v ekvilibriu vhodná. Zavedeme diference $\Delta u=u-u_0$ a $\Delta x=x-x_0$, $\Delta y=y-y_0$. Linearizaci dostaneme pomocí taylorova rozvoje a zanedbáním vyšších členů než prvního řádu.

\begin{align}
&\Delta\dot{x}=\dot{x}-0=f(\Delta x+x_0,\Delta u+u_0)-f(x_0,u_0)=f(\Delta x,\Delta u+u_0)=\nonumber\\
&f(x_0,u_0)+\frac{\partial f}{\partial{x}}(x_0,u_0)\Delta x+\frac{\partial f}{\partial u}(x_0,u_0)\Delta u+\Theta(x_0,u_0)-f(x_0,u_0)\approx\nonumber\\
&\frac{\partial f}{\partial{x}}(x_0,u_0)\Delta x+\frac{\partial f}{\partial u}(x_0,u_0)\Delta u=\nonumber\\
&\mathbf{A}\Delta x+\mathbf{B}\Delta u.\nonumber
\end{align}
Takže platí:
\begin{align}
\mathbf{A}=\frac{\partial f}{\partial{x}}(x_0,u_0),\nonumber\\
\mathbf{B}=\frac{\partial f}{\partial{u}}(x_0,u_0).\nonumber
\end{align}
Obdobně dostaneme pro výstup:
\begin{align}
\mathbf{C}=\frac{\partial h}{\partial{x}}(x_0,u_0),\nonumber\\
\mathbf{D}=\frac{\partial h}{\partial{u}}(x_0,u_0).\nonumber
\end{align}

Tedy kompletní lineární časově neproměnný systém (LTI - linear time-invariant) je v ekvilibriu $x_0$, $y_0$ a $u_0$ popsán jako:
\begin{subequations}
\begin{align}
\Delta\dot{x}=\mathbf{A}\Delta x+\mathbf{B}\Delta u,\\
\Delta y=\mathbf{C}\Delta x+\mathbf{D}\Delta u.
\end{align}
\end{subequations}
Často se vynechává symbol $\Delta$ v rovnicích, ale vždy si musíme pamatovat, že pracujeme s diferenciálním modelem.

\subsubsection{Linearizace v okolí trajektorie}
\label{sec:LTV}

Pokud systém nemá ekvilibrium, nebo se hodnoty stavů a vstupů mění ve velkém rozsahu, můžeme použít linearizaci podél trajektorie. V tomto případě máme zadanou nějakou trajektorii stavu, vstupu, nebo výstupu a zbytek neznámých trajektorií dopočítáme tak, aby platili rovnice  (\ref{eq:nonlin_stav}) a (\ref{eq:nonlin_vystup}). Např. při vypouštění rakety spočteme optimální trajektorii jejího letu a podél této trajektorie linearizujeme nelineární systém.

Mějme tedy zadanou nebo vypočtenou požadovanou trajektorii stavů ($\bar{x}(t)$) a vstupu~($\bar{u}(t)$). Nyní zaveďme diference $\Delta u=u-\bar{u}$ a $\Delta x=x-\bar{x}$, $\Delta y=y-\bar{y}$.
\begin{equation}
\Delta\dot{x}(t)=\dot{x}(t)-\dot{\bar{x}}(t)=f(\Delta x(t)+\bar{x}(t),\Delta u(t)+\bar{u}(t),t)-f(\bar{x}(t),\bar{u}(t),t).\label{eq:diffstate}
\end{equation}
Výraz (\ref{eq:diffstate})  můžeme rozepsat do Taylorova rozvoje a zkrátit rozvoj pouze na první stupeň:
\begin{align}
\Delta \dot{x}(t)&=f(\Delta x(t)+\bar{x}(t),\Delta u(t)+\bar{u}(t),t)-f(\bar{x}(t),\bar{u}(t),t)\\
&= f(\bar{x}(t),\bar{u}(t),t)+\frac{\partial f}{\partial x}(\bar{x}(t),\bar{u}(t),t)\Delta x(t)+\frac{\partial f}{\partial u}(\bar{x}(t),\bar{u}(t),t)\Delta u(t)\nonumber \\
&+\Theta (\bar{x}(t),\bar{u}(t),t)- f(\bar{x}(t),\bar{u}(t),t)\\
&\approx\frac{\partial f}{\partial x}(\bar{x}(t),\bar{u}(t),t)\Delta x(t)+\frac{\partial f}{\partial u}(\bar{x}(t),\bar{u}(t),t)\Delta u(t)\\
&=\mathbf{A}(t)\Delta x(t)+\mathbf{B}(t)\Delta u(t).
\end{align}
Podobně můžeme postupovat i u výstupu:
\begin{align}
\Delta y(t)&\approx\frac{\partial h}{\partial x}(\bar{x}(t),\bar{u}(t),t)\Delta x(t)+\frac{\partial h}{\partial u}(\bar{x}(t),\bar{u}(t),t)\Delta u(t)\nonumber\\
&=\mathbf{C}(t)\Delta x(t)+\mathbf{D}(t)\Delta u(t).
\end{align}
Jednotlivé matice tedy jsou ve tvaru:
\begin{subequations}
\begin{align}
\mathbf{A}=\frac{\partial f}{\partial x}(\bar{x}(t),\bar{u}(t),t),\\
\mathbf{B}=\frac{\partial f}{\partial u}(\bar{x}(t),\bar{u}(t),t),\\
\mathbf{C}=\frac{\partial h}{\partial x}(\bar{x}(t),\bar{u}(t),t),\\
\mathbf{D}=\frac{\partial h}{\partial u}(\bar{x}(t),\bar{u}(t),t).
\end{align}
\end{subequations}
V tomto případě se jedná o lineární časově proměnný model (LTV - linear time varying), protože předpokládáme, že se mění matice systému podél vývoje trajektorie, která se mění v čase. Takže se dá tento model zapsat jako:

\begin{subequations}
\begin{align}
\Delta \dot{x}(t)=\mathbf{A}(t)\Delta x(t)+\mathbf{B}(t)\Delta u(t),\label{eq:LTV_stav}\\
\Delta y(t)=\mathbf{C}(t)\Delta x(t) +\mathbf{D}(t)\Delta u(t).\label{eq:LTV_vystup}
\end{align}
\end{subequations}













































